3. 통계 검증 기초 - 독립 표본 T 검정 (검정 방법/예시) : 등분산 가정일 때

독립 표본 검정이란, 두 모집단의 관계가 서로 독립일 때 사용되는 검정이다.  독립 표본은 대립 표본에 비해서 조금 복잡한데, 그 이유는 표본의 갯수와 모분산의 동일성에 따라 검증 방법이 조금씩 다르기 때문이다. 

 

1. 표본 개수가 충분하고 , 모분산이 동일할 때

2. 표본 개수가 충분하고, 모분산의 동일 여부를 알 수 없을 때

3. 표본 개수가 불충분 하고, 모분산이 동일할 때

4. 표본 개수가 불충분 하고, 모분산의 동일 여부를 알 수 없을 때

 

이렇게 총 4가지로 나뉜다. 

 

여기서 표본 갯수가 충분할 때는 Z검정을 통해 통계 검증을 진행하며, 표본 개수가 불 충분할 때 T 검정을 진행한다. 

즉, 독립 표본 T검정이란, 양적 자료 이고, 두 모집단의 관계가 서로 독립이며, 표본 갯수가 불충분할 때 사용하는 통계 검증 방식이다. 

 

 

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독립 표본 T 검정. 

 

표본 개수가 불충분하고, 모분산이 동일할 때 

 

독립 표본 T 검정에서는 표본 갯수가 불충분하고 모분산이 동일할 때의 검증을 다룰 것이다. 모분산의 동일 여부는 F 검증을 통해 확인할 수 있으나 오늘의 초점은 T 검증이므로 F 검증에 대해서는 Excel 데이터 값을 참고 하기로 하자 (맨 아래)

 

 *정리표.

3.

 

모분산이 동일할 때는 다음 정리표와 같다. 귀무가설은 각 모분산의 평균이 같다. 라고 가정을 한다(양측 검증일 때) 해야 하며, 검정 통계량이 기각역에 속한다면, 귀무가설을 기각하고 그렇지 않다면 귀무가설을 채택하는 방식으로 검증이 이뤄진다. 

 

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독립 표본 예시. 

 

실제 통계 시험에 나온 문제를 통해, 독립 표본 T 검증 방법을 알아보자.

다음은 각각 a.b 사료를 준 젖소의 우유 생산량이다.  사료의 차이가 우유 생산량의 차이에 영향을 끼치는지 검증해라. 

라는 문제가 주어졌다고 하자. 

 

 

1. 양측 검정 가설 세우기. 

 

귀무가설 Ho : 모평균A,B가 같다는 결과이다. 

즉, 사료간의 차이는 없다 라고 해석할 수 있다. 

 

 

2. 검정 통계량 T 구하기 

 

검정 통계량을 구하기 위해서는 각 모집단의 평균과 분산 데이터가 필요하다. 

 

또한 분산을 구하기 위해, 각 모집단의 평균을 각각의 데이터에서 빼어, 제곱해 주었다. 

나온 결과는 다음 이미지와 같다. 

 

 

 

따라서 검정 통계량의 표준 분산 S 값을 먼저 구해보자. S 값은 다음과 같이 구할 수 있다. 

 

모집단 A,B의 전체 분산의 합 / 모집단 A,B의 자유도의 합 

 

따라서, S^2 의 값은 약 69.91이 나온다. 

 

 

S값을 구했으므로 검정 통계량 T를 구하면, 

 

다음과 같이 0.866 이라는 값을 구할 수 있다. 

 

 

3. 기각역 구하기. 

 

유의수준 5% 에서 검증을 해보자.  양측 검정이므로 알파 a 는 2로 나눈 0.025가 된다. 

즉, t(0.025, 23) 인 구간에서 검정을 하면 된다.  여기서, 23인 이유는 각각의 모집단의 자유도의 합이기 때문이다. 

 

t 분포표를 활용해 구해보면,  기각역은 다음과 같이 2.069임을 확인할 수 있다 

 

t0 값 0.866 이 t 기각역 2.069보다 작으므로, 귀무가설을 기각할 수 없다. 

즉, 귀무가설은 옳다고 볼 수 있으며 양 사료간의 차이가 있다고 말할 수 없다. 

 

 

 

4. Excel 을 이용한 검정 

 

간단하게 excel 을 이용하여 검증해보자. Excel 을 이용해서 검증할 때는 어떤 통계 검증 방법을 사용할 지만 잘 선택하면 된다. 

 

먼저, t검정이 등분산임을 가정하기 위해서 F 검정을 해준다. 

F 검정에서 P 단측 검정 값이 0.05 보다 크면 등분산이라고 할 수 있다. 

 

이번 검증에서는 0.38이 나왔으므로, 등분산이다. 

따라서 t검정, 등분산을 통해 t 통계량을 구해준다. 

 

방금 같이 구한 값과 거의 비슷하게 나왔다는 것을 확인할 수 있다. 

이 값은 기각역에 속하지 않으므로 똑같이 귀무가설을 기각할 수 없다는 결론을 내릴 수 있다.